Petit théorème de Fermat (forme faible)

Petit théorème de Fermat (forme faible)

Si \(p \in \mathcal{P}\) , alors pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , on a : \(n^p \equiv n \ [p]\) .

Démonstration

Soit \(p \in \mathcal{P}\) et \(n \in \mathbb{Z}\) .

On raisonne par disjonction de cas.

• Si \(p\) divise \(n\) , alors \(n \equiv 0 \ [p]\) , et donc \(n^p \equiv 0 \equiv n \ [p]\) .
• Si \(p\) ne divise pas \(n\) , alors, d'après le petit théorème de Fermat (forme forte),
  on a :  \(n^{p-1} \equiv 1 \ [p]\) .
  Or \(n \equiv n \ [p]\) , donc \(n^{p-1} \times n \equiv 1 \times n \ [p]\) , c'est-à-dire \(n^p \equiv n \ [p]\) .